2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（十大题型）（学生版）.docxVIP

第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系

【题型归纳目录】

题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系

题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标

题型三：切线与切线长问题

题型四：弦长问题

题型五：判断圆与圆的位置关系

题型六：由圆的位置关系确定参数

题型七：公共弦与切点弦问题

题型八：公切线问题

题型九：圆中范围与最值问题

题型十：圆系问题

【知识点梳理】

知识点一：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点．

2、直线与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．

有两组实数解时，直线与圆C相交；

有一组实数解时，直线与圆C相切；

无实数解时，直线与圆C相离．

(2)几何法：

由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离．

知识点诠释：

(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．

(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．

(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．

知识点二：圆的切线方程的求法

1、点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率

的乘积等于，即．

法二：圆心到直线的距离等于半径．

2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

知识点诠释：

因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

常见圆的切线方程：

(1)过圆上一点的切线方程是；

(2)过圆上一点的切线方程是

．

知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法

1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．

知识点四：圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系：

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点．

2、圆与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解．

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离．

(2)几何法：

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．

当时，两圆相交；

当时，两圆外切；

当时，两圆外离；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含．

知识点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．

3、两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

4、两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

(3)两圆相交时，只有2条外公切线；

(4)两圆内切时，只有1条外公切线；

(5)两圆内含时，无公切线．

【典例例题】

题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系

例1．(2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)直线与圆的位置关系是(????)

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断

例2．(2023·辽宁·高二校联考期中)圆与直线的位置关系是(????)

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

例3．(2023·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考期中)直线与圆的位置关系是(????)

A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能

例4．(2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中)圆与直线的位置关系为(????)

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能

例5．(2023·四川眉山·高二眉山中学校考期末)直线与圆的位置关系为