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将军饮马及造桥选址模型—2024学年八年级数学上册(解析版)--第1页

最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型

模型一垂线段最短模型

典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上

的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．

【解答】解：如图：

当PQ⊥OA时，PQ有最小值，

∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，

∴PH＝PQ＝3，

∴PQ长的最小值为3，

故选：C．

【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键．

针对练习

1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F

分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）

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A．6B．32C．33D．3

√√

【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的

1

最小值，根据直角三角形的性质得到BD=CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是

2

3

得到B′F＝CD=√BC＝33．

√

2

【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，

则B′F的长度即为BE+EF的最小值，

∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝30°，

1

∴BD=CD，

2

1

∵BD=BB′，

2

∴BB′＝BC，

在△CDB与△B′FB中，

∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ′ᵃᵃ

{，

∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ

ᵃᵃ=ᵃᵃ′

∴△CDB≌△BB′F，

3

∴B′F＝CD=√BC＝33．

√

2

故选：C．

【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性

质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．

2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD

＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）

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A．1B．2C．2.5D．5

√

【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH