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大一上高数知识点例题

一、极限与连续

1.求以下函数的极限：

（a）lim(x→2)2x+1

（b）lim(x→−1)(x^2+3x+2)/(x+1)

解答：

（a）对于函数f(x)=2x+1，当x趋近于2时，f(x)趋近于多少？

因为当x接近2时，2x+1接近的数值也趋近于多少。即可求得

该极限为5。

（b）对于函数f(x)=(x^2+3x+2)/(x+1)，当x趋近于-1时，f(x)

趋近于多少？

因为当x接近-1时，(x^2+3x+2)/(x+1)接近的数值也趋近于多少。

通过化简该式，可得：

(x^2+3x+2)/(x+1)=(x+1)(x+2)/(x+1)=x+2

因此，当x趋近于-1时，f(x)趋近于1。

2.已知函数f(x)=sqrt(x)，求以下极限：

（a）lim(x→4)f(x)

（b）lim(x→∞)f(x)

解答：

（a）对于函数f(x)=sqrt(x)，当x趋近于4时，f(x)趋近于多少？

因为sqrt(x)表示x的平方根，当x接近4时，sqrt(x)接近的数

值也趋近于多少。即可求得该极限为2。

（b）对于函数f(x)=sqrt(x)，当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于

多少？

因为sqrt(x)表示x的平方根，当x趋近于无穷大时，sqrt(x)趋

近于无穷大的平方根。即可求得该极限为无穷大。

二、导数与微分

1.对函数f(x)=3x^2+2x-1，求其导数f(x)。

解答：

对于函数f(x)=3x^2+2x-1，使用导数的定义，求其导函数f(x)。

根据导数的定义，f(x)表示f(x)在某一点的斜率，可以通过求

极限的方式求得。

根据导数的定义，导数可以通过以下公式计算：

f(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h

将f(x)=3x^2+2x-1代入公式，得到：

f(x)=lim(h→0)((3(x+h)^2+2(x+h)-1)-(3x^2+2x-1))/h

=lim(h→0)(3x^2+6xh+3h^2+2x+2h-1-3x^2-2x+1)/h

=lim(h→0)(6xh+3h^2+2h)/h

=lim(h→0)(6x+3h+2)

=6x+2

因此，函数f(x)=3x^2+2x-1的导数为f(x)=6x+2。

2.已知函数f(x)=3x^2+2x-1的导数为f(x)=6x+2，求其微分。

解答：

对于函数f(x)=3x^2+2x-1，已知其导数f(x)=6x+2。

微分表示函数在某一点的微小变化量，可以通过导数求得。

微分的公式为df(x)=f(x)dx，其中dx表示自变量的微小变化

量。

将f(x)=6x+2代入公式，得到：

df(x)=(6x+2)dx

因此，函数f(x)=3x^2+2x-1的微分为df(x)=(6x+2)dx。

三、定积分

1.求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。

解答：

对于函数f(x)=x^2，求其在区间[0,1]上的定积分。

定积分表示函数在一定区间上的面积，可以通过积分求得。

将f(x)=x^2代入定积分的公式，得到：

∫[0,1]x^2dx

通过不定积分的原理求解定积分，得到：

∫[0,1]x^2dx=[x^3/3]，在区间[0,1]上积分

=(1^3/3)-(0^3/3)

=1/3

因此，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。

2.求以下定积分：

（a）∫[-1,1]1dx

（b）∫[0,π]sin(x)dx

解答：

（a）对于函数f(x)=1，求其在区间[-1,1]上的定积分。

根据定积分的定义，∫[-1,1]1dx表示