人教版九年级数学 第二十四章 圆知识归纳与题型突破（21题型清单）.pdfVIP

第二十四章圆知识归纳与题型突破（题型清单）

21

01思维导图

1

02知识速记

一、圆的基本性质

1.圆

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

2.圆的有关概念

（1）弦：

连结圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径.

（）弧的有关概念：

3

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

2

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

（4）同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

（5）等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

3.垂直于弦的直径

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

4.弧、弦、圆心角的关系

（1）圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

（2）圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余

各对量也相等．

5.圆周角

圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

3

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

6.圆内接多边形

一个四边形的个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

4

1.圆内接四边形的对角互补．

2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）

二、点与圆、直线与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系（重点）

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d＝r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该

点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

2.圆的确定条件

不在同一直线上的三点确定一个圆．

3.三角形的外接圆

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个．

4

4.反证法

（1）反证法

假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命

题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.

（2）用反证法证明命题的一般步骤

①假设命题的结论不成立;

②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾

③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确

5.直线和圆的位置关系

(1)相交：直线与圆有两个公共