抽屉原理的例题.pdfVIP

例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体

一定有三个面颜色相同.

证明：把颜两种色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2

×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.

例2：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三

个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个

科学家通信时讨论的是同一个问题。

解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理

知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，

G，讨论的是甲问题。

若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨

论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨

设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。

若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间

只讨论丙问题，这样结论也成立。

例3从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定

有两个数之和是34。

分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个

数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽

屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的

抽屉的特点，这两个数的和是34。

例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情

况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与

其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.

然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-

2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1

次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-

1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n

个校友每人按照其握手的次数归入相应的抽屉“”，根据抽屉原理，至少有两个

人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

例题5：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.

证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3

除余数为0，1，2的整数各归入类r０，r1，r2.至少有一类包含所给５个数

中的至少两个.因此可能出现两种情况：１°.某一类至少包含三个数；２°.某两

类各含两个数，第三类包含一个数.

若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定

能被3整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除..

综上所述，原命题正确.

例题6：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，

最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.

证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化

为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.

(用反证法)假设无５人或５人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有５

人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每

个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：

4(50＋51＋…＋100)＝4×＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５

人植树的株数相同.

例7．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，

试证明：一定有两个运动员积分相同。

证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只

有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽

屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

例8．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，

规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类

是一致的？

解题关