【整合课件】1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 (1).pptxVIP

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

核心素养1.理解位置向量、方向向量的概念.(数学抽象,直观想象)2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.(数学运算)3.初步了解两条异面直线的距离的定义.(数学抽象)思维脉络

激趣诱思知识点拨一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中,裁判员除了说一些必要的语言外,他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛.比如,直接任意球要求裁判单臂侧平举,明确批示踢球方向;间接任意球要求裁判单臂上举,掌心向前,此手势应持续到球踢出后,并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求,必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?直接任意球手势间接任意球手势

激趣诱思知识点拨1.点的位置向量、直线的方向向量位置向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量方向向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l微思考空间一条直线的方向向量唯一吗?提示:不唯一.

激趣诱思知识点拨2.空间中两条直线所成的角设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=v1,v2或θ=π-v1,v2,特别地,sinθ=sinv1,v2,cosθ=|cosv1,v2|;l1⊥l2?v1,v2=?v1·v2=0.微练习已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k=.?解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.答案:-1或-2

激趣诱思知识点拨3.两条异面直线的距离一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.微思考怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量法判定直线的位置关系例1设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0).解:①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),∴a=-b.∴a∥b.∴l1∥l2.②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).1.如果l1∥l2,那么u1∥u2?u1=λu2?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2?u1·u2=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对答案:C

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测异面直线所成的角例2如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.

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探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测运用向量法常用两种途径:①基底法在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cosa,b=