人教A版高中数学选修1-1课后习题 模块复习课 第3课时 圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题.docVIP

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第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题

课后篇巩固提升

基础巩固

1.若直线y=的值等于()

A.±6 B.±6

C.±3 D.±4

解析由x24+y22

因此有Δ=-8m2+48=0,解得m=±6.

答案B

2.直线y=2x与双曲线x24-y2=1公共点的个数为(

A.0 B.1

C.2 D.4

解析双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,焦点在x轴上,由图形知,直线

答案A

3.过双曲线x2-y2=1的一个顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于()

A.12 B.22 C.1

解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2

答案A

4.F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1

A.2 B.3

C.-2 D.随点P的位置而变化

解析由已知得F1(-1,0),F2(1,0),

则有k1=yx+1,k2=y

因此1k

又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,

所以1k

答案A

5.设椭圆C:x24+y23=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM

解析M(-2,0),N(2,0),设P(·kPN=y

=34(4

答案-3

6.已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于

解析椭圆右焦点为(3,0),所以y=x-3,x2+4

所以|AB|=1+k2|x1-x2|=

答案8

7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(2,1),离心率为

(1)求椭圆的方程;

(2)若|MN|=322,求直线MN

解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=ca

解得a=6,b=3,c=3,

所以椭圆方程为x2

(2)由题易知点B(3,0)在椭圆外,

又直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可知直线MN斜率存在,设直线MN方程为y=k(x-3),

代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=12k22k

=(

=(k

解得k=±22,满足k2

故所求直线方程为y=±22

8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为

(1)求椭圆E的离心率;

(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程

解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点O到直线的距离d=bcb

由d=12c,得a=2b=2a

解得离心率ca

(2)由(1)知,椭圆E的方程为(-2,1)是线段AB的中点,

且|AB|=10.

易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得

(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x

由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=1+122|x1

=52

由|AB|=10,得10(b2-2

故椭圆E的方程为x2

9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为42,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A

(1)求椭圆C的方程;

(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

解(1)因为椭圆C:x2a2+y

所以2c=42,解得c=22.

因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),

所以a=3.

又b2=a2-c2=9-8=1,

所以椭圆C的方程为x29+y

(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).

设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x-3).

联立方程y=k1(x+3),x29+y2=1

同理,可解得点N的坐标为27k

由M,D,N三点共线可得6k11+9k123-27k1

由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,

即k1+-12k

即存在λ=-12,使得k1+λk2

能力提升

1.已知抛物线C:y2=8(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA·MB=0,则k=(

A.2 B.22

C.12

解析过点F(2,0)且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),

设点A(x1,y