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高中数学竞赛试题

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．若椭圆的离心率，则我们称这种椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆，如果不是等比数列，那么椭圆（）

A．一定是“黄金椭圆”B．一定不是“黄金椭圆”

C．可能是“黄金椭圆”D．可能不是“黄金椭圆”

2．如果，且，那么角的取值范围是（）

A.B.C.D.

3.若点是圆内的动点,且函数的一个零点在

内,则该函数的另一个零点在内的概率为（）

A.B.C.D.

4．对于给定的一个，方程的正整数解的组数为（）

A．1B．3C．8D．无穷多组

5．数列中，相邻两项是方程的两根，已知，则的值为（）

A．5800B．5840C．5860D．6000

6．如图，在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，则这样的直线的条数为（）

A．4B．3C．2D．1

二．填空题（本题满分42分，每小题7分）

7．设是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为，则

8.函数R)的最小值是.

9．设函数对任意的非零实数，有，且在上为增函数，则不等式的解为

10．定义运算：，设为互不相等的三个实数，且，则

11．若表示不超过的最大整数（如等等）则

＝________________．

12．给定正整数（），设正数满足，是以坐标原点为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上的任意一点，则的最小值是

三．解答题（要求必须写出必要的演算或证明的过程）

13．（本题满分16分）一个人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做这个小球放对了，否则叫做放错了．求：四个小球都放错了的概率．

14．（本题满分16分）已知，设，，记

（1）求的表达式；

（2）定义正数数列：，（）．试求数列的通项公式。

15．（本题满分20分）已知椭圆：及定点，斜率为的直线经过点并与椭圆交于不同的两点、，且对于椭圆上任意一点，都存在，使得成立。试求出满足条件的实数的值。

（本题满分20分）已知，其中均为正数，且．若满足，．求的最小值。

高中数学竞赛试题参考答案

一．选择题

1．B2．C3．A4．D5．B6．C

二．填空题

7．8．9．

10．11．200312．n

三．解答题

13．

14．

15．

16．