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专题04基本不等式及其应用
【考点预测】
1.基本不等式
如果a0方0,那么而4厘，当且仅当。二时，等号成立.其中，区生叫作。方的算术平均数，
22
叫作G”的几何平均数.即正数。2的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式1：若a,bcR,则/+〃2之为，当且仅当。时取等号；
基本不等式2：若a,bwR*,则巴也（或a+bN2/^）,当且仅当。二〃时取等号.
2
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定
值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧与总结】
L几个重要的不等式
2
（Da0（izGR）,[a0（6r0）,|f/|0（6FGR）.
（2）基本不等式：如果凡bwRj则”之疯当（且仅当“。=”时取“三）
2
特例：—22;—+—之2同号）.
aba
（3）其他变形：
①笳+从之沟（通两和。+与两平方和CT+从的不等关系式）
2
2
②abW心方沟（通两积ab与两平方和cr+b的不等关系式）
2
z»\2
③沟（通两积次?与两和。+的不等关系式）
④重要不等式串：拓《等《月誉（。力£/?+）即
ab
调和平均值《几何平均值《算数平均值0平方平均值注（意等号成立的条件）.
2,均值定理
已知A,yeR+.
/\2q2
（1）如果x+y=定（值），则初V二二当（且仅当“x=y时取=）.即和为定值，积有最大值”.
2/4
(2)如果孙=P(定值),则x+yN2而=2赤(当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：mx+—2y[mnfn0,n0)»当且仅当x=JE时等号成立；
模型二：/nx+——=mx-a)+——+ma2y[mn+fnam0,n0)»当且仅当=J2时等号成立；
x-ax-aVm
模型三：—=—!—w/(\0,c0),当且仅当吟归时等号成立；
ax-+bx+c瑟+6+上24ac+bV。
x
2
班刑nn/、mxn-mx)1,mx+n-mxn、八八,斗门内必〃
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