1.2空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

1.2空间向量基本定理典型例题

考点1：空间向量基底的概念及辨析

1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（????）

A． B．，，

C．，， D．

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.

【详解】因为，

，

，

所以向量，，均与向量，共面．

故选：C

3．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.

【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，

所以，.

因为，，，所以，又SA=1，

所以空间的一个单位正交基底可以为.

故选：A

4．关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若，则是钝角

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面

【答案】ACD

【分析】根据向量共面的定义可判断A，利用向量夹角的取值范围判断B，根据基底的定义可判断C，根据共面定理可判断D.

【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；

对于B，若，则是钝角或是，B错误；

对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面，

假设共面，则，

即矛盾，所以不共面，

所以也是空间的一组基底，C正确；

对于D，因为且，

所以P，A，B，C四点共面，D正确；

故选:ACD.

考点2：用空间向量基底表示向量

5．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量线性运算即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：A.

6．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.

【详解】在平行六面体中，M为与的交点，

.

故选：B

7．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则______.

??

【答案】

【分析】由空间向量的线性运算即可求解.

【详解】，

故答案为：

8．如图，在四面体中，，，，，．

??

(1)求证：、、、四点共面．

(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出，即可证得结论成立；

（2）由（1）可得出，可得出，则，由此可得出，再结合空间向量的线性运算可得出关于、、、的表达式.

【详解】（1）证明：因为，

，

所以，则，因此、、、四点共面．

（2）解：当时，，即，可得，

因为，即，可得，

由（1）知，，，因此，

又因为、不在同一条直线上，所以，，

则，则，即，

所以，

.

考点3：用空间向量基本定理及其应用

9．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理求解即可.

【详解】因为，，

所以，

又，

所以，

所以，

故.

故选：B.

10．（多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（????）

A．，，两两不共线，但两两共面

B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得

C．，，能构成空间另一个基底

D．若，则实数，，全为零

【答案】ABD

【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.

【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；

对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；

因为，所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；

根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；

故选：ABD

11．如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．

(1)试用向量，，表示向量；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果.

（2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果.

（1）

（2）

由题意知，，，，

则，

，

所以

12．如图所示，在平行六面体中，为的中点.设.

(1)用表示；

(2)设是棱上的点，且，用表示.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由为的中点，结合平行六面