人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 数列 4.4 数学归纳法.docVIP

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4.4*数学归纳法

课后训练巩固提升

1.用数学归纳法证明1+122+132+…+1(

A.12-1

B.1+122

C.1+122

D.1+122

解析:第一步需验证第一个n值,应为n=2,此时不等式为1+122+

答案:C

2.(多选题)用数学归纳法证明不等式1n+1+1

A.使不等式成立的第一个自然数n0=1

B.使不等式成立的第一个自然数n0=2

C.由n=k(k≥n0,k∈N*)到n=k+1推理时,不等式的左边增加的式子是1

D.由n=k(k≥n0,k∈N*)到n=k+1推理时,不等式的左边增加的式子是1

解析:当n=1时,11+113

当n=k(k≥n0,k∈N*)时,左边的代数式为1k+1+1

当n=k+1时,左边的代数式为1k+2+1

故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式,得12k+1

为不等式的左边增加的项,故C正确,D错误.故选BC.

答案:BC

3.用数学归纳法证明1+12+13+…+12

解析:当n=2时,左边为1+12+1

故应填1+12

答案:1+12

4.用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+n3=n6+n32(n∈N*),则从n=k(k∈

解析:用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n3=n6+n32

假设当n=k(k∈N*)时等式成立,左边为1+2+3+…+k3,

则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,

故由n=k到n=k+1时需增添的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.

答案:(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-23,且Sn+1Sn+2=an(n≥2),则S3=;Sn

解析:由于a1=-23,满足Sn+1Sn+2=an(n≥2),令n=2,则S2+1S2+2=a2

故-23+1S2

令n=3,S3+1S3+2=a3,化为S2+1S

解得S3=-45

猜想:Sn=-n+1n+2

下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,S1=-23

(2)假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即Sk=-k+1k+2

当n=k+1时,Sk+1+1Sk+1+2=ak+1=Sk+1-Sk,Sk+1=-1Sk+2

即当n=k+1时,结论也成立.

由(1)(2)可得,对任意的正整数n,结论都成立.

答案:-45-

6.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an≥1,且4Sn=(an+1)2,n∈

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法予以证明.

解:(1)∵an≥1,且4Sn=(an+1)2,

∴当n=1时,(a1-1)2=0,∴a1=1,

当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,

∴a2=3或a2=-1(舍),

当n=3时,4(4+a3)=(a3+1)2,

∴a3=5或a3=-3(舍),

∴a1=1,a2=3,a3=5.

(2)由(1)猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,由(1)知成立,

②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=2k-1,

则当n=k+1时,由4Sk=(ak+1)2,有4ak+1=4(Sk+1-Sk)=(ak+1+1)2-(ak+1)2,

∴ak+12-2ak+1-4k2+1=(ak+1-2k-1)(a

∴ak+1=2k+1或ak+1=-2k+1(舍),

∴n=k+1时结论成立.

由①②知,当n∈N*时,an=2n-1均成立.