人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题复习课 第2课时 一元函数的导数及其应用.docVIP

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第2课时一元函数的导数及其应用

课后训练巩固提升

1.若曲线y=x+1x

A.2 B.-2

C.-12 D.

解析:y=x+1x-1=1+2x-1,y=-

因为曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,所以-12

答案:B

2.若函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的单调递增区间为()

A.(-1,0)

B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)

D.(0,+∞)

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),导数f(x)=2x-2-4x

由f(x)0,得x2.

故f(x)的单调递增区间是(2,+∞).

答案:C

3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x).若函数y=(1-x)·f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

解析:由题图可知,f(-2)=0,f(2)=0,当x-2时,f(x)0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.

故选D.

答案:D

4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=()

A.0或-7 B.-7

C.0 D.7

解析:f(x)=3x2+2ax+b.

由题意得f

解得a=4

若a=-3,b=3,则f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2.

当x1或x1时,f(x)0,所以x=1不是极值点,不符合题意.

经检验,a=4,b=-11符合题意,

所以a+b=4-11=-7.故选B.

答案:B

5.已知函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,且对任意x∈R,f(x)+f(x)1,则不等式ex·f(x)ex+1的解集为()

A.{x|x0}

B.{x|x0}

C.{x|x-1或x1}

D.{x|x-1或0x1}

解析:设g(x)=ex·f(x)-ex,

则g(x)=ex·[f(x)+f(x)-1].

∵对任意x∈R,f(x)+f(x)1,

∴g(x)0在R上恒成立.

∴g(x)=ex·f(x)-ex在R上为增函数.

又f(0)=2,∴g(0)=1.

故g(x)=ex·f(x)-ex1的解集为{x|x0},

即不等式ex·f(x)ex+1的解集为{x|x0}.

答案:A

6.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为.?

解析:令f(x)=3x2-3a=0,解得x=±a.

易得f(x)在x=-a处取得极大值,

在x=a处取得极小值.

由题意知f(-a)=6,f(a)=2,解得a=1,b=4.

令f(x)=3x2-30,得-1x1.

故函数f(x)的单调递减区间为(-1,1).

答案:(-1,1)

7.已知函数f(x)=x3+ax2-4x+3(x∈R).

(1)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=2时,∵f(x)=x3+2x2-4x+3,

∴f(x)=3x2+4x-4.

∴f(1)=3,即切线的斜率为3.

∵f(1)=2,

∴切点为(1,2).

故所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.

(2)∵f(x)=x3+ax2-4x+3,

∴f(x)=3x2+2ax-4.

∵函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,

∴f(x)≤0对x∈(1,2)恒成立,

即3x2+2ax-4≤0对x∈(1,2)恒成立,

从而a≤2x-3

设h(x)=2x-3

∵当x0时,h(x)0,

∴函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减.

∴当in=h(2)=-2.

∴a≤-2.

故实数a的取值范围为-∞,-2

8.已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).

(1)若函数f(x)在区间[-3,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)≥e2对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)=(x+a+1)ex,x∈R.

因为函数f(x)在区间[-3,+∞)内单调递增,所以f(x)≥0,即x+a+1≥0对x∈[-3,+∞)恒成立.

因为y=x+a+1是增函数,

所以-3+a+1≥0,解得a≥2.

故实数a的取值范围为[2,+∞).

(2)因为f(x)=(x+a)ex≥e2对x∈[0,2]恒成立,

即a≥e2-x-x对x∈[0,2]恒成立.

设g(x)=e2-x-x,x∈[0,2