2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题15 等式性质与不等式性质（教师版）.docxVIP

专题15等式性质与不等式性质

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意，则(为正数)、或(为负数)三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：，.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数、

①；

②；

③.

对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1)对称性：

(2)传递性：

(3)可加性：(c∈R)

(4)可乘性：ab，

运算性质有：

(1)可加法则：

(2)可乘法则：

(3)可乘方性：

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.

①；

②；

③.

作商法：

任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.

①；

②；

③.

中间量法：

若且，则(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.

【题型归纳目录】

题型一：用不等式(组)表示不等关系

题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

题型四：利用不等式的性质证明不等式

题型五：利用不等式的性质比较大小

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【典例例题】

题型一：用不等式(组)表示不等关系

例1．(2023·甘肃酒泉·高一统考期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(????)

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.

故选：C.

例2．(2023·四川眉山·高一校考阶段练习)将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为(????)

A． B．或

C． D．

【答案】D

【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为.

因为两段绳子长度之差不小于，所以，

化简得：.

故选：D

例3．(2023·西藏林芝·高一校考期中)下列说法正确的是(????)

A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x2000”

B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”

C．某变量x至少为a可表示为“xa”

D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“xy”

【答案】B

【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；

对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；

对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；

对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.

故选：B.

变式1．(2023·黑龙江双鸭山·高一校考期中)完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是(????)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，请工人满足的关系式是，

即.

故选：D

变式2．(2023·全国·高一专题练习)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(????)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒，

人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．

故选：B．

变式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试)在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间(包括这两点)移动，点在表示和0的两点(包括这两点)之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是(????)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意.可知：而是负数，只有的值可以超过2021，如，

故选：D.

题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小

例4．(2023·高一课时练习)比大小：_____．

【答案】

【解析】因为，，

所以，，

因为，

所以，

所以.

故答案为：.

例5．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)已知，，则的大小关系是_______．

【答案】

【解析】