4.1 指数幂与幂函数（讲）（原卷版）.docx

4.1指数幂与幂函数

1．根式

(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号eq\r(n,a)表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±eq\r(n,a)．

③负数没有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，记作．

(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝.

2．幂的有关概念及运算

(1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0.

(2)负整数指数幂：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．

(3)正分数指数幂：(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

(4)负分数指数幂：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

(5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

(6)有理指数幂的运算性质

①；②；③．

3．幂函数

(1)幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数.

注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.

(2)幂函数的图像与性质

①五个常见幂函数的图像

②五个常见幂函数的性质：

函数性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

函数图像

定义域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇

非奇非偶

偶

奇

奇

单调性

R上增

上增

(－∞，0)上减

[0，＋∞)上增

R上增

(－∞，0)上减

(0，＋∞)上减

公共点

（1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点.

（2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数

（3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数

一、根式、幂的有关概念及运算

【典例1】=.

【典例2】有下列四个式子：

①；②；③；④

其中正确的个数是（）

A． B． C． D．

【典例3】用有理数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0).(1)；(2)

【典例4】计算下式：＋0.1－2＋－3π0＋

【典例5】若，则实数a的取值范围为________．

1、若有意义，则是（）

A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数

2、下列各式正确的是（）

A. B.

C. D.

3、用有理数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0)．(1)；(2)

4、计算下式：＋2－2×－(0.01)0.5

5、化简＝________．

二、幂函数

【典例1】下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【典例2】已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（????）

A．3 B． C．9 D．

【典例3】下列函数中与函数定义域相同的是（????）

A． B． C． D．

【典例4】已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（????）

A． B． C． D．

【典例5】已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（????）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

1、在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（???）

A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥

2、已知为幂函数，且，则（????）

A． B． C． D．

3、设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（????）

A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3

4、下列函数在R上为增函数的是（???）

A． B．

C． D．

5、下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（????）

A． B． C． D．