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3.1.2椭圆的简单几何性质
考点01：求椭圆焦点、焦距
1．点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（????）
A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍
【答案】D
【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】??
由可知，，所以，
所以，
∵线段的中点M在y轴上，且原点O为线段的中点，
所以，所以轴
∴可设，
把代入椭圆，得.
∴，.
∴.
故选：D.
2．若椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为，焦点坐标为．
【答案】/0.25
【分析】根据题意可得，再结合方程可得，运算求解即可.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
由题意可得：，则，
因为椭圆方程为，即，
且焦点在y轴上，则，
可得，解得，
所以，即焦点坐标为．
故答案为：；.
考点02：求共焦点椭圆方程
1．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为.
【答案】
【分析】设所求椭圆的标准方程为，求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出所求椭圆的方程.
【详解】椭圆的标准方程为，其焦点坐标为，
设所求椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义可得，
所以，，则，
因此，所求椭圆的方程为.
故答案为：.
2．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程．
【答案】．
【分析】解法一：由题意设方程为，然后根据题意可得和，求出，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设，然后将代入椭圆方程求出，从而可求出椭圆方程.
【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为，
由，得，所以，①
又在椭圆上，则，②
由①②解得：，
即所求的方程是．
解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：，
则，
整理得：，解得，
因为，所以，
故所求的椭圆的标准方程是．
??
考点03：椭圆中x，y取值范围
5．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断
【详解】由，得，
所以椭圆的标准方程为，则，
因为点在椭圆上，
所以．
故选：C
6．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是．
【答案】
【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.
【详解】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围，
因此，即．
故答案为：.
考点04：根据椭圆有界性求范围和最值
7．已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.
【详解】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
8．已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，
又由点，
可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
考点05：点和椭圆的位置关系
9．（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（????）
A． B． C．1 D．
【答案】BC
【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值.
【详解】由题意知，解得．
故选：BC
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆方程可得与的值，结合圆与椭圆的位置关系可得的不等式，求解即可.
【详解】由椭圆，得，
所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点，
如图：
所以，解得且，所以的取值范围为.
故选：A
考点06：椭圆的对称性
11．直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的性质求得直线l为，利用点线距离公式列方程求离心率即可.
【详解】不妨设椭圆为且，，
由椭圆对称性，令过，则，即，
所以，则，即，故.
故选：D
12．已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为．
【答案】1
【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形为矩形，设设，根据条件建立方程得到，再利用等面积法即可求出结果.
【详解】因为椭圆，所以，
连接，由椭圆的对称性知，，
又，所以四边形为
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