2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）（原卷版）_1_1.docx

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）

一.一元二次不等式的概念

一元二次不等式

定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

一般形式

ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0，其中a，b，c均为常数，a≠0

解集

ax2＋bx＋c0(a≠0)

解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c0(a≠0)

解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≥0(a≠0)

解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≤0(a≠0)

解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合

注意事项：

（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.

(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.

二.“三个二次”的关系

Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2

有两个相等的实数根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

一元二次不等式的解法

一元二次不等式，a为正值来定形；

对应方程根求好，心中想想抛物线；

大于异根取两边，小于异根夹中间；

大于等根根去掉，小于等根空集成；

大于无根取全体，小于无根不可能！

注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．

四.一元二次不等式恒成立问题

1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有

①不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0；))

②不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

2.一元二次不等式ax2＋bx＋c0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

一．解不含参数的一元二次不等式的方法

1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.

2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.

二．解含参数的一元二次不等式的方法

1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；

2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；

3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式

注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．

考点一解不含参数的一元二次不等式

【例1】（2023·湖南）解下列不等式：

(1)(2)(3)(4)

【一隅三反】

（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：

；(2)；(3)；(4)

(5)(6)(7)；(8)；

(9)；(10).

考点二解含参数的一元二次不等式

【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式

【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式.

【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式.

【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（????）