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湖南省邵东县第三中学2023年高三3月月考数学试题(解析版)
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的部分图象如图所示,则()
A. B. C. D.
2.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()
A. B. C. D.
3.已知实数满足则的最大值为()
A.2 B. C.1 D.0
4.已知实数x,y满足,则的最小值等于()
A. B. C. D.
5.如图,在三棱锥中,平面,,现从该三棱锥的个表面中任选个,则选取的个表面互相垂直的概率为()
A. B. C. D.
6.已知命题p:直线a∥b,且b?平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m?α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()
A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)
7.已知复数满足,则的共轭复数是()
A. B. C. D.
8.函数(),当时,的值域为,则的范围为()
A. B. C. D.
9.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()
A. B. C. D.
10.是虚数单位,复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
12.在中,,,,为的外心,若,,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在二项式的展开式中,的系数为________.
14.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:
(1)对任意的总有;
(2)当,,时,总有成立.
则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.
15.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:
①;
②函数在内有且仅有个零点;
③不等式的解集为.
其中,正确结论的序号是________.
16.在中,,,,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)如图,三棱柱的所有棱长均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
19.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求最大的正整数,使得.
20.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.
21.(12分)在直角坐标系中,曲线的标准方程为.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)若点在曲线上,点在直线上,求的最小值.
22.(10分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.
【详解】
由图象可知A=1,
∵,所以T=π,∴.
∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,
∴φ,结合0<φ,∴φ.
∴.
∴sin
.
故选:A.
【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.
2.B
【解析】
根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.
【详解】
对命题:
可知,
所以R,
故命题为假命题
命题:
取,可知
所以R,
故命题为真命题
所以为真命题
故选:B
【点睛】
本题主要考查对
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