2025（苏教版）数学九年级上册第1章《一元二次方程》单元复习讲义（知识点+典例）学生版+解析版 .pdf

2025(苏教版)数学九年级上册

第1章《一元二次方程》单元复习讲义

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【清单01一元二次方程的相关概念】

一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式o?+弘+。=()(qNO).这种形

式叫一元二次方程的一般形式.

一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程

的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

【清单02一元二次方程的解法】

(1)开平方法：对于形如子=〃或(QX+幻2的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知

数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

(2)方法：通过方的方法把一元二次方程转化为(x+m)2=〃的方程，再运用开平方法求解。

(3)公式法：一元二次方程ax1+Z?x+c=O(€i^O)的根~4ac

2a

(4)因式分解法：

因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,艮

若ab=0,则=0或Z?=0；

【清单03根的判别式的应用】

（1）A=b2-4ac

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax+bx+c=O（1。0）

1主0

①当A冲4°方程有实数根;

AO0t

aQ[aQ

（当A冲4。方程有两个不相等的实数根；当人冲4。方程有两个相等的实数根；）

[A0时[A=0时

a0

②当°方程无实数根;

[A0时

【清单04根与系数的关系】

⑴韦达定理（根与系数的关系）:

,bc

如果ax2+bx+c=0（a^0）的两根是改，x2,贝\\xl+x2=——,^x2=—.（隐含的条件：△（））

-aa

⑵若M，心是ax2+bx+c=0（a^Q）的两根（其中茶也），且秫为实数，当△（）时，一般地:

①（改一m）（x2—m）O^xlm,x2m

②（而一m）（x2—加）0且（j—秫）+（此一秫）0=M〉秫，x2m

③（茶一m）（x2—农）0且（耳一秫）+（此一秫）v0=西秫，x2m

特殊地：当m=0时，上述就转化为破之+破+。=0（00）有两异根、两正根、两负根的条件.

【清单05一元二次方程的应用】

列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。

具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键；

②设未知数，注意单位；

③根据题意找等量关系列出方程;

④解方程；

⑤检验解是否合理；

⑥写出答案作答

考点

1

数字问题

考点

2

多边形对角线问题

考点

3

循环问题

考点4传播问题

考点5增减率问题

考点6面积问题

考点7利润问题

【考点题型——元二次方程的概念】

【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（