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3.2.1双曲线及其标准方程
考点01:双曲线定义的理解
1.判断正误(正确的写正确,错误的写错误)
(1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.()
(2)对于双曲线标准方程,三个参数中,最大的一定是c.()
(3)方程表示的曲线一定是双曲线.()
(4)在双曲线方程中,必有.()
【答案】错误正确正确错误
【分析】利用双曲线定义、方程的意义逐一判断各个命题作答.
【详解】(1)错误,应该是“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于正常数(比两定点间距离小)的点的轨迹就是双曲线”;
(2)正确,双曲线标准方程中,,即最大的一定是c;
(3)正确,当时,方程是焦点在x轴上的双曲线,
当时,方程是焦点在y轴上的双曲线,
因此给定方程是双曲线;
(4)错误,双曲线方程中,没有绝对大小关系.
故答案为:错误;正确;正确;错误
2.如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是,那么点到它的左焦点的距离是(????)
A. B. C.或 D.不确定
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设双曲线的左、右焦点为,则;
则,
由双曲线定义可得,即,
所以或,由于,
故点到它的左焦点的距离是或,
故选:C
考点02:利用双曲线定义求方程
3.已知点,曲线上的动点到的距离之差为6,则曲线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由题意可得,根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.
【详解】由题意可得,
由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线一支,且,即,
所以.
又因为焦点在轴上,所以曲线方程为.
故选:A.
4.已知动圆M与两圆和都外切,则动圆M的圆心轨迹是(????)
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.前三个答案都不对
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义可求圆心轨迹.
【详解】题中两圆分别记为圆以及圆,
设动圆圆心为,半径为r,则,
于是为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支,
故选:B.
考点03:利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
5.已知,分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可得,求的最小值相当于求的最小值,当三点共线时能取得最小值.
【详解】因为,所以要求的最小值,
只需求的最小值.
如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时,
最小,最小值为.
故的最小值为.
??
故选:C
6.设是双曲线上的动点,则点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.
【答案】4
【分析】根据双曲线方程可得,由双曲线的定义可得点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值.
【详解】双曲线,
,
又点P在双曲线上,
点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值.
故答案为:4.
考点04:利用双曲线定义解焦点三角形
7.设点P在双曲线上,为双曲线的两个焦点,且,则的周长等于,.
【答案】22
【分析】根据给定的双曲线方程,结合双曲线定义、余弦定理求解作答.
【详解】在双曲线中,实半轴长,半焦距,则,
显然,又,解得,
所以的周长等于,
.
故答案为:22;
8.已知点分别是双曲线的下、上焦点,若点是双曲线下支上的点,且,则的面积为.
【答案】16
【分析】由双曲线定义可得,然后平方可得的值,然后由余弦定理可得∠F1PF2=90°,然后可得答案.
【详解】因为是双曲线下支上的点,所以,两边平方得:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,
所以∠F1PF2=90°,所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案为:
考点05:利用双曲线定义求线段和、差最值
9.(多选)已知曲线(????)
A.表示两条直线 B.表示圆
C.表示焦点在轴上的双曲线 D.表示焦点在轴上的椭圆
【答案】BCD
【分析】根据圆、双曲线、椭圆的标准方程逐项判断即可.
【详解】对于A,当时,曲线为表示焦点在轴上的双曲线,故A错误;
对于B,当时,曲线为表示圆,故B正确;
对于C,当时,曲线为表示焦点在轴上的双曲线,故C正确;
对于D,当时,,则曲线为表示焦点在轴上的椭圆,故D正确.
故选:BCD.
10.方程表示的曲线,下列说法错误的是(???)
A.当时,表示两条直线
B.当,表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时,表示圆
D.当时,表示焦点在x轴上的双曲
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