《数学建模活动：生长规律的描述》教学设计.docxVIP

《数学建模活动：生长规律的描述》教学设计

教学设计

一、创设情境，揭示课题

2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件.

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据的基础上，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.

本例建立数学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数的过程，也就是数学建模的过程.

二、尝试实践，探求新知

1.结合教材实例，通过数据统计，启发学生发现问题并提出问题.

我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时），这些数据可以用下图表示.

年龄/岁

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

身高/cm

49.7

66.8

75

81.5

87.2

92.1

96.3

年龄/岁

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

身高/cm

99.4

103.1

106.7

110.2

113.5

116.6

119.4

问题1：我国7岁以下女童身高的增长速度呈什么趋势？

提示：越来越慢.

再例如，农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据，这些数据可以用下图直观表示.

生长阶段

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

植株高度/cm

0.67

1.75

3.69

7.73

16.55

32.55

53.38

97.46

153.6

174.9

180.79

问题2：玉米植株高度的增长有何规律？

提示：先慢后快再慢.

提问3：如何用数学语言描述类似的生长规律？

2.分析问题，建立模型.

启发学生建立函数模型探究生长规律.

例如，对于前述我国7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数具有这种性质，因此生长规律可用

来描述.

类似地，对于前述玉米植株高度来说，因为增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快，而我们熟悉的函数中，指数函数具有这种性质，因此生长规律可用

来描述.

教师强调函数类型的选择技巧：根据画出的函数图像的样式，选择对应的我们学过的函数类型，这样能够保证不会出现大的偏差.

3.确定参数，计算求解.

教师和学生一起探究，通过取点检验计算，求得参数.

例如，对于函数，如果选择的是与，则有

由此可解得，，所以

.

类似地，也可选择已有数据中的两对来确定函数中的，.

例如，如果选择的是与，则有

由此可解得，，所以

在函数类型确定后，接下来的工作就是确定其中的参数，得出具体的函数解析式了.这里考验的是学生的数学运算素养，需要认真计算，保证计算正确.

4.验证结果，改进模型.

用统计表中的其他数据通过代入检验，看是否有较高的拟合度.

例如，对于描述我国7岁以下女童身高的函数来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表.

年龄/岁

0.5

1

1.5

2

2.5

3

身高/cm

66.8

75

81.5

87.2

92.1

96.3

68.6

76.4

82.4

87.5

91.9

95.9

年龄/岁

3.5

4.5

5

5.5

6

6.5

身高/cm

99.4

106.7

110.2

113.5

116.6

119.4

99.7

106.3

109.4

112.3

115.1

117.8

由表可以看出，误差都在2cm以内，因此能够较好地反映我国7岁以下女童身高的生长规律.

对于玉米植株高度函数来说，可以算得函数值的对应表如下.

生长阶段

1

3

4

5

6

7

9

10

11

植株高度/cm

0.67

3.69

7.73

16.55

32.55

53.38

153.6

174.9

180.79

0.90

3.42

6.68

13.05

25.51

49.85

190.40

372.08

727.14

不难看出，在前面7个阶段内，的函数值与实际值之间的误差不大，但是第9-11阶段就不一样了.

这种现象实际上是可以预料到的.因为指数函数的增长速度会越来越快，这就意味着这个函数一定不能反映出植株高度的实际增长规律（即先慢后快，然后又变慢）.

和学生一起分析数据，确定函数模型，并对函数模型的后续发展给出自己的判断.

课堂实践——拟合