人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.4.1第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系.docVIP

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系

课后·训练提升

基础巩固

1.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则实数λ的值是()

A.-103 B.6

C.-6 D.10

答案:B

2.设a=(3,-2,-1)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的一个法向量,则()

A.l⊥α B.l∥α

C.l∥α或l?α D.l?α或l⊥α

答案:C

解析:因为a·n=3×1+(-2)×2+(-1)×(-1)=0,所以这两个向量垂直,得出l∥α或l?α.

3.已知平面α内的两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面α的一个法向量为()

A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)

答案:B

4.(多选题)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是()

A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m

B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α

C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β

D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1

答案:BCD

解析:对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确.

对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l?α,故B中说法错误.

对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,1=0,3=2λ,此方程组无解,∴α∥β不成立

对于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,

∴n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,解得

5.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则平面α与平面ABC的位置关系是.?

答案:平行

解析:因为n1·AB=0,n1·AC=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,

又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.

6.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以OP=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=.?

答案:-4

解析:由题意可知,AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),

则平面ABC的一个法向量为n=(2,7,5).

由n·OP=0,得2x-7+15=0,

解得x=-4.

7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF∥平面SAD.

证明:如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设AB=a,SD=b,则E(a,a2,0),F(0,a2,b2),所以EF=

由题意可知,CD⊥平面SAD,故DC=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量.

因为EF·DC=0,EF?

所以EF∥平面SAD.

能力提升

1.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,则y2等于()

A.0 B.1

C.2 D.3

答案:B

解析:由题意可知,AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2).因为a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,所以a·AB=0,a·AC=0.

所以-1+y=0,1-y-

2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,则直线MN与平面OCD的位置关系为(

A.MN∥平面OCD

B.MN⊥平面OCD

C.MN?平面OCD

D.MN与平面OCD相交

答案:A

解析:(方法一)∵MN=MA+AB+BN=-1

∴MN∥平面OCD.

(方法二)过点A作AP⊥CD,垂足为P,易知AB,AP,AO两两垂直,以A为坐标原点,分别以AB,AP,AO的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则P(0,22,0),D(-22,22

则MN=(1-24,24,-1),OP=(0,22,-