人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题 第07章 复数 7.3.1-7.3.2.docVIP

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第七章7.3*复数的三角表示

7.3.1复数的三角表示式

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

A级必备知识基础练

1.复数z=3+i的模和辐角主值分别是()

A.4,7π6 B.4,π

C.2,7π6 D.2,

2.已知z=cosπ3+isinπ

A.z2的实部为1 B.z2=z-1

C.z2=z D.|z2|=2

3.复数z=-2+2i的三角形式是.?

4.[2(cos60°+isin60°)]3=.?

5.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].

6.已知z1=12cosπ4+isinπ4,z2

7.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.

8.计算下列各式的值:

(1)-12+

(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).

B级关键能力提升练

9.复数z=-1+1+i1-i

10.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z

11.若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和argz的范围.

12.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:

(1)试将复数eπ3i

(2)试求复数eπ

答案：

1.D解析模长r=(3)2+12=2,设辐角为θ,tanθ=

2.B解析z=cosπ3+isinπ3=12+32i.z2=12+32i2=14-34+32i=-12+32i,其实部为-12

3.22cos3π4+isin3π4模长|z|=4+4=2

4.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.

5.解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]

=42

=2[cos(-240°)+isin(-240°)]

=2-12+

6.解z1z2=12×6×cosπ4

几何意义为:首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π4

7.解由题意,可设z=3+bi(b∈R).

∵|z|=2,

∴3+b

∴z=3+i或z=3-i.

化为三角形式,得z=2cosπ6+isin

8.解(1)-12

=cos2π3

=2(cosπ+isinπ)=-2.

(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)

=30(cos270°+isin270°)=-30i.

9.3π4解析因为1+i1-

所以z=-1+i=2cos3π4+isin3π4,

所以复数z的辐角主值为3π4

10.解1z=(

11.解由|z-2|≤1,知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离.

显然1≤|z|≤3,

∴|z|main=1,

设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,

由|CA|=1,|OC|=2知∠AOC=∠BOC=π6

∴argz∈0,

12.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ

(2)由题意可知eπ3i+1

因此,eπ