2024-2025学年上海市松江一中高二上学期阶段测试1数学试卷含答案.docx

上海市松江一中2024-2025学年高二上学期阶段测试1数学试卷

命题教师郇玲黄雪林审核人陶春梅

2024.9

考生注意：

本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上.

一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.二面角的平面角的取值范围是___________.

2.若直线平行于平面内的直线，且，则与的位置关系是______.

3.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______条件．（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”）

4.已知复数满足（为虚数单位），则________.

5.已知数列的前项和______．

6.如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______.

7.已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为________．

8.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______．

9.正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为____________.

10.如图，正方体棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________．

11.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则最小值为______．

12.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．我们把平面四边形外的点连接顶点、、、构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．

二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）

13.过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（）

A.1条 B.2条 C.超过2条但有限 D.无数条

14.已知，是异面直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

15.如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A.异面直线AE与BC所成的角为

B.

C平面平面CDF

D.直线AE与平面BDE所成的角为

16.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（）

A.； B.

C.； D.．

三、解答题（本题共78分）

17.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：

（1）D1，M，N，C四点共面；

（2）D1M、DA、CN三线共点．

18.（1）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，求异面直线AD和BC所成的角；

（2）如图，长方体中，，求异面直线与所成角．

19.一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上一直道，它和坡脚成，为解决山腰处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案．

方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）；

方案乙：沿铺设自来水管道，第一个费用为1万元，以后每往上一个所需费用比前一个的费用扩大1倍；

如果处高出暗河，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素）

20.如图，在直角梯形ABCD中，，底面ABCD且

（1）求证：是直角三角形；

（2）在SD上取点M，SC交平面ABM于，求证：四边形ABNM为直角梯形；

（3）若，写出的表达式．并求当为何值时，BM最小？最小值是多少？

21.定义：对棱相等的四面体为等腰四面体．等腰四面体可以由长方体切割产生，如图．

（1）在等腰四面体ABCD中，有几对棱长相等？请分别写出这几对相等的棱长；

（2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；

（3）设等腰四面体ABCD三个侧面与底面所成的角分别为，请判断是否为定值？如果是定值请求出该定值；如果不是定值请说明理由．

上海市松江一中2024-2025学年高二上学期阶段测试1数学试卷

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