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《正弦定理》应试拓展

拓展1解三角形时注意挖掘隐含条件

在解三角形问题中,由于涉及知识点多、综合性强、条件隐蔽,常会出现增解、错解现象,其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够.

(1)在中(内角所对的边分别为.

(2)在中,若,则;反之,若,则.

下面简证:若,则.

证明:方法一:.

方法二:当都为锐角时,不妨令在上单调递增,∴;当为钝角,为锐角时,为锐角,∴;当为直角,为锐角时,,显然.

(3)在中,,.

(4)若为锐角三角形,则,同理.

(5)在中,若,则或;若,则.

(6)在中,任意角的正弦值都为正值.

【例1】在中,内角的对边分别为.已知,则()

A.1

B.2

C.

D.

解析:由正弦定理,得或.由,得.由勾股定理得.

答案:B

拓展2利用正弦定理解三角形

“角角边”型

已知两角和任一边,解三角形时,利用公式可直接得到第三个角,然后运用正弦定理即可求得另两边.

【例2】在中,分别是三个内角的对边.若,求和.

分析:先求出的值,再根据同角三角函数的基本关系求出的值,再根据或求出;由以及的值,利用正弦定理可求出的值.

解:由题意得,

则为锐角,.

由及,得.

由正弦定理,得,解得.

“边边角”型

已知两边和其中一边的对角,解三角形时,可由正弦定理得到已知两边中另一边的对角,然后将问题转化为“角角边”型,参照上述方法进行计算.

【例3】在中,内角所对的边分别为,且.若,解这个三角形.

解:由正弦定理得,所以.

因为,所以,所以或.

当时,,

所以;

当时,,

所以.

综上所述,或.

【关键技巧】

已知条件

应用定理

一般解法

两角一边(如a,B,C)

正弦定理

先由A+B+C=180°求第三角,再用正弦定理求另两边

两边及夹角(如a,b,C)

余弦定理、正弦定理

先用余弦定理求第三边,再用正弦定理求小边的对角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时只有一解

两边及其中一边的对角(如a,b,A)

正弦定理

先由正弦定理求出角B（可能有两解或一解或无解）,再由A+B+C=180°求出角C,最后用正弦定理求第三边c

三边

余弦定理

先用余弦定理求出较小的两边所对的角,再由A+B+C=180°求出第三角

求三角形的面积

三角形面积计算公式：

(为内切圆的半径).

【例4】在中,内角所对的边分别为,且.

(1)求角的大小;

(2)若,求的面积.

分析:(1)利用正弦定理,把已知等式中边化为角,从而求得的值,利用,即可求出角的大小;

(2)先根据正弦定理求出角,再利用三角形面积公式,即可求出的面积.

解:(1)∵,

∴由正弦定理得.

∵.

又∵.

(2)由(1)知,且,

则由正弦定理,得,解得.

又

的面积