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全等三角形学问总结及典型例题

学问点1：全等三角形的定义与表示方法

（1）定义：可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角

（2）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

例1.如图11.1-3所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是（）

ABEFA．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△

A

B

E

F

C．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB

学问点2：全等三角形的性质

性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。

【留意：全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等；全等三角形的周长相等，面积相等。】

ACBDE例2.如图11.1-7，△ABD

A

C

B

D

E

例3.如图11.1-12，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=4.5cm．

ED

E

D

A

B

C

（2）推断AC与BD的位置关系，并说明理由．

（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

（2）“边角边”（SAS）：两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）“角边角”（ASA）：两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（4）“角角边”（AAS）：两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（5）“斜边，直角边”（HL）：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

【留意：①三角形全等证明时要留意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在断定两个三角形全等时，至少有一边对应相等。④有两边与一角对应相等，角必需是这两边的夹角。⑤“HL”只相宜于Rt⊿。⑥利用全等三角形可以测出不能（或不易）干脆测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。】

例4(SSS).(1)如图，点A、C、F、D在同始终线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF求证：

(2)在中，，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC．求证：

例5(SAS).(1)已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。试说明：△ABD≌△ACE。

(2)已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，DC=DE，∠C=50°。

求∠EBD的度数。

例6(ASA).(1)已知：如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.F、C在直线BE上．求证：AB=DE,AC=DF．

例7(AAS).已知：如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF．

例8(HL).(1)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。

求证:AN平分∠BAC。

AEBCD┐┎(2)马路上A、B两站（视为直线上的两点）相距26km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16km，BC=10km，现要在马路AB上建一个土特产

A

E

B

C

D

┐

┎

学问点4、角平分线的作法、性质、断定与扶植线

1.尺规作图画角平分线

①、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

②、分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

③、画射线OC。射线OC即为所求。【如图1】

2.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的间隔相等。

图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF【如图2】

3.角平分线的断定定理：到一个角两边的间隔相等的点在这个角的平分线上。

图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB【如图3】

4.角平分线常作的扶植线：遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等．

图1图2图3

例9（角平分线性质）.（1）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为_________cm．

（2）已知：如图，AM是∠BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB，AC的垂线，垂足为F，D，且分别交AC、AB于点G，E．

MACB

M

A

C

B

E

O

F

D

G

例10（角平分线断定）.课本p52第7题

例119（角平分线扶植线）.课本p50第2题

学问点3、全等