高考数学选填压轴题型第22讲概率中的应用问题专题练习(原卷版+解析).docxVIP

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第22讲概率中的应用问题

【方法综述】

概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。

【解答策略】

类型一以数学文化和时代发展为背景的概率问题

【例1】5．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为

A． B． C． D．

【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题

【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.

某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验n次.

方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（1）若，试求p关于k的函数关系式；

（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，

满足且（）都有成立.

（i）求证：数列等比数列；

（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值

【举一反三】

1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）

A． B． C． D．

2.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.

3．（2020?湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，

共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多

分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是

类型二概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题

【例3】（2020?浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没

有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0＜p＜，则

（）

A．E（X）＝ B．E（X）＞ C．D（X）＞ D．D（X）＜

【例4】（2020?开福区模拟）设一个正三棱柱ABC﹣DEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P10，则P10为（）

A． B．

C． D．

【举一反三】

1．（2020?越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：

ξ

2sinαsinβ

3cosαsinβ

3sinαcosβ

cosαcosβ

P

t

则E（ξ）的最大值为（）

A．﹣1 B．﹣ C． D．1

2．（2020?天心区模拟）已知函数f（x）＝，若，则方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同根