高考数学导数知识题型全归纳专题07导数中压轴题的洛必达法则运用(原卷版+解析).docxVIP

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导数章节知识全归纳

专题07导数压轴题的洛必达法则运用

一．洛必达法则基础知识认识：

作者语录：（本节内容本应该在大学高等代数中学习，由于目前高考考向和试题难度问题，运用洛必达法则解答题可以针对适当题型解答更加快速和容易，同时也更能够很好求参数，很多时候都是额外补充，针对学习较好同学可适当深入）

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理，，，，，，型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．导数压轴中洛必达法则运用典例：

例：1.函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求、的值；

（2）如果当，且时，，求的取值范围.

例：2.已知函数，．

（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；

（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．

变式：1.设函数.

（1）证明：当时，；

（2）设当时，，求的取值范围.

变式：2.设函数。

若，求的单调区间；

若当时，求的取值范围

变式：3.已知函数.

（1），时，讨论函数的导数的单调性；

（2）时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.

变式：4.已知函数

（1）若，求的极值；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

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导数章节知识全归纳

专题07导数压轴题的洛必达法则运用

一．洛必达法则基础知识认识：

作者语录：（本节内容本应该在大学高等代数中学习，由于目前高考考向和试题难度问题，运用洛必达法则解答题可以针对适当题型解答更加快速和容易，同时也更能够很好求参数，很多时候都是额外补充，针对学习较好同学可适当深入）

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理，，，，，，型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．导数压轴中洛必达法则运用典例：

例：1.函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求、的值；

（2）如果当，且时，，求的取值范围.

解：（1）易得，.

（2）方法一：分类讨论、假设反证法

由（1）知，所以.

考虑函数，则.

(i)当时，由知，当时，.因为，

所以当时，，可得；当时，，可得

，从而当且时，，即；

（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.

（iii）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.

注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.

方法二：运用洛必达和导数求解本题的恒成立问题

当，且时，，即，

也即，记，，且

则，

记，则，

从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当