专题05 线段、角、对角线的计数模型（解析版）.docxVIP

专题05.线段、角、对角线的计数模型

本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。

模型1.?线段与角度的计数模型

1）线段的计数模型

结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；

结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）

例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（????）

A．3条 B．4条 C．5条 D．6条

【答案】D

【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数．

【详解】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条．

故选：D．

【点睛】本题主要考查线段的定义，注意解决计数问题时要做到不重不漏．

例2．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（???）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】根据题意确定出数学模型，五点确定出线段的条数，计算即可得出答案．

【详解】根据题意得：从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有：种

故选C．

【点睛】本题考查了直线、射线、线段，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键．

例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（????）

A．20种 B．15种 C．12种 D．6种

【答案】C

【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数．

【详解】解：需要印制不同的火车票的种数为（种）故选：C

【点睛】本题考查了线段的运用，注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．

例4．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】

在表中空白处画出图形；

线段上的

点数包括

，两点

图例

线段总条数

______

______

______

______

______

【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？

【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

（1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛；

（2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次；

（3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种．

【答案】【观察思考】见解析；【模型构建】线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）28；（2）900；（3）；．

【分析】观察思考：根据题意画出图形即可；模型构建：根据表中的规律找到答案即可；

拓展应用：（1）根据8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可；（3）根据题意列式计算即可．

【详解】解：【观察思考】??；??；??；??；???；

【模型构建】解：，

所以该线上共有条线段，

答：线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；

【拓展应用】（1）因为，

所以位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行场比赛；故答案为：；

（2）因为，

所以某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手次；故答案为：；

（3）因为，，

所以海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票种，票价种．故答案为：；．

【点睛】此题考查了直线上线段条数的变化规律及其应用，得到“线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段”是解题的关键．

例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习

(1)发现规律，猜想说理．

．．．．．．．．．．．．

以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．

如果，我们设

则

我们可以看出此