专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（解析版）.docxVIP

专题05特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）

1），记，即求BC+kAC的最小值.

2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（?????）．

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图：过点E作，过点B作，连接,由菱形的性质结合题意可得结合可得，则,即；再根据三角形的三边关系可得,则当时，即F与重合时，有最小值，最后解直角三角形求出即可．

【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．

??

∵在菱形中，，∴，

∵，∴，，即．

∴．∴．∵

∴当时，即F与重合时，有最小值

∴的最小值．故选B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到有最小值的位置是解答本题的关键．

例2．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【答案】

【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.

【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，

∴PQ=PD?sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，

∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，

∴的最小值为，故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.

例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

??

【答案】/

【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．

【详解】解：∵四边形是矩形，，，

∴，，，∴，

在线段下方作，过点作于点，连接，

????

∴，∴，

当、、三点共线时，的值最小，

此时，∴，∴，，

∴，∴的最小值为：，

∴的最小值为．故答案为：．

【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．

例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（????）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最

小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．

【详解】解：连接AC，作

∵是正方形且边长为4，∴，，，

∵，∴，∴，

∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，

∵，，∴，∵，∴，

设，则，∴，解得：，

设，则，∵，∴，解得：

∴，故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．

例5．（2022·山