专题07 空间直线，平面的平行，垂直关系（9考点清单，知识导图+ 个考点清单题型解读）（原卷版）.docx

专题07空间直线，平面的平行，垂直关系

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行

②直线与平面平行，直线与交线平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行

④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行

⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行

①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线

③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面

【考点题型一】直线与平面平行

①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行

④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行

使用①判定定理，注意说明直线在平面外。

【例1】（2024高三上·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.

(1)求证：平面BDE.

(2)求三棱锥的体积

【例2】（21-22高一·全国·课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．

【例3】（21-22高一下·山东淄博·期中）如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．

??

(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；

(2)假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．

【变式1-1】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.

求证：平面；

【变式1-2】.（2022高三·全国·专题练习）如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由

【变式1-3】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.

【考点题型二】平面与平面平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行

注意说明两条相交直线都与另一平面平行，现在教材不谈两个平面内分别有两条相交直线对应平行。

【例1】（20-21高一下·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

??

(1)求证：平面平面；

(2)求三棱锥的体积.

【例2】（22-23高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

??

(1)求证：平面；

(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

【例3】（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ADE，．求证：．

【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．

求证：∥平面.

【变式2-1】.（2023高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；

【变式2-2】.（22-23高一下·福建漳州·期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，.

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由.

【变式2-3】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.

【变式2-4】.（2023高三·全国·专题练习）有两个平行四边形ABCD与ABEF，M为AC上一点，N为BF上一点，且，求证：平面CBE．

【考点题型三】直线与平面垂直

①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

【例1】（2022·全国·模拟预测）如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.

??

(1)求证：平面；

(2)若，，求三棱锥的体积.

【例2】（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.

??

(1)若，求三棱柱的体积；

(2)证明：平面；

(3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论.

【变式3-1】.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.

(1)证明：平面.

(2)若，求三棱锥的体积.

【变式3-2】.（22-23高二上·青海海东·期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．

(1)求证：平面；

(2)求点C到平面的距离；

(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．

【考点题型四】平面