专题11 二次函数与等腰三角形存在性问题（原卷版）.docxVIP

专题11二次函数与等腰三角形存在性问题

解题点拨

【问题描述】

如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），

（2）表示线段：，

（3）分类讨论：根据，可得：，

（4）求解得答案：解得：，故坐标为．

【小结】

几何法：（1）“两圆一线”作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

问题总结：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

直击中考

1．已知抛物线经过、、，直线是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；

(2)设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；

(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2021春·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于和点B且．（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点F是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点F的坐标；

(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

3．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：∠BOF＝∠BDF：

(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长

4．（2021·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．

5．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；

(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

6．（2020·广西·中考真题）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．

（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

7．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C的，与轴另一交点为A，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

8．（2022春