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专题08角度中的动态模型

角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。

【知识储备】

1、角度旋转模型解题步骤：

①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：

1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；

2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；

3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。

变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角

③列——根据题意列方程求解。

注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。

2、常见的三角板旋转模型：

三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。

总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。

模型1、旋转中的求值模型

例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）

（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；

（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=，（请用含m、n的代数式表示）．

【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°

【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．

【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，

∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；

②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，

∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，

∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，

∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

?③解：补全图形如图3所示，

∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，

∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，

∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，

∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；

（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，

∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，

同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，

∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，

当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，

∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，

∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，

∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，

∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，

∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，

综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．

故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．

【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．

例2．（2023·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．

(1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________；

(2)如图2，将三角板绕点