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专题08角度中的动态模型

角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。

【知识储备】

1、角度旋转模型解题步骤：

①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：

1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；

2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；

3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。

变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角

③列——根据题意列方程求解。

注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。

2、常见的三角板旋转模型：

三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。

总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。

模型1、旋转中的求值模型

例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）

（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；

（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=，（请用含m、n的代数式表示）．

例2．（2023·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．

(1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________；

(2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数．

模型2、旋转中的定值模型

例1．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有个直角；当t＝2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；

（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．

例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；

(3)如图④，当______时，恰好平分；

(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；

(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．

??

模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）

例1．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知，平分．

(1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．

例2．（2023·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一边在直线的下方．

(1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边在的内部，且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？

模型4、旋转中的分类讨论模型

例1.（2022?广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）

(1)如图（2），O