专题07 二次函数与将军饮马问题（原卷版）.docxVIP

专题07二次函数与将军饮马问题

解题点拨

（一）什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

（二）将军饮马模型系列

1.【一定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

2.【两定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

3.【一定两动之点线】

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

（三）将军饮马模型拓展

1.【将军过桥】

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．

【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】

2.【将军过两个桥】

已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．

AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’．

当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置．

3.【将军遛马】

如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？

【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．

构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．

直击中考

1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

2．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．

3．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，求直线的解析式；

（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；

（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（20