专题06 全等模型-角平分线模型（解析版）.docxVIP

专题06全等模型-角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.

结论：、≌.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.

结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。

结论：①；②；③.

例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（）

??

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】如图，过D作于E，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案．

【详解】解：如图，过D作于E，

??

∵，，∴，∴，

∵，即，是的角平分线，∴，故选：A．

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：

①平分；②；③；④．

其中结论正确的是（填写结论的编号）（???）

A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④

【答案】A

【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．

【详解】解：①作于点，

平分，，，

平分，，，，

点在的角平分线上，平分，①结论正确；

②平分，平分，，，

，，，

，，，②结论正确；

③，，，，

，

，在和中，，，

同理可证，，，，

，故③结论正确；

④，，，

，故④结论不正确；

综上所述，正确的结论是①②③，故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．

例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分．

（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）8cm.

【分析】（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：过点E分别作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．

∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．

∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．

∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF．

在Rt△AEB和Rt△AEF中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线；

（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，

，，，

∵∠C=90°∴??，，

.

故答案为（1）详见解析；（2）8cm.

【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．

例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．

(1)如图1，当时，与的数量关系是______．

(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

(3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值．

【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行）

【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论；

（2）过点作于，于，证明，得到；

（3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可．

【详解】（1）如图1，过点作于，于，

四边形为矩形，，，

，

，，，

平分，，，，

在和中，，

，，故答案为．

（2）解：成立，理由如下：如图2，

证明：过点分别作于点，作于点