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北京市顺义区2025届高三数学下学期其次次统练试题

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限

3．在的绽开式中，的系数为（）

A．B．C．D．40

4．已知，且，则下列不等式恒成立的是（）

A．B．

C．D．

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）

A．B．1C．D．2

6．已知函数，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

7．把物体放在冷空气中冷却，假如物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）

A．0.25B．C．0.89D．

8．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（）

A．B．C．D．

9．已知函数，则“存在使得”是“”的（）

A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

10．设函数，若恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．设向量，若，则实数__________．

12．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为________．

13．已知为等差数列，为其前n项和，若，则公差_________，的最大值为_________．

14．已知是随意角，且满足，则常数k的一个取值为__________．

15．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：

①曲线C关于坐标轴对称；

②周长的最小值为；

③点P到y轴距离的最大值为；

④点P到原点距离的最小值为．

其中全部正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．

16．（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．

17．（本小题13分）

在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）c的值；

（Ⅱ）的面积．

条件①：；

条件②：．

注：假如选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

18．（本小题14分）

某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满足度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满足度评分如下：

老师：60636567757777797982838687899293969696

学生：4749525455576365666674747577808283849596

依据师生对该菜品的满足度评分，将满足度从低到高分为三个等级：

满足度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满足度等级

不满足

满足

特别满足

假设老师和学生对该菜品的评价结果相互独立，依据所给数据，用事务发生的频率估计相应事务发生的概率．

（Ⅰ）设数据中老师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；

（Ⅱ）从全校老师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品特别满足的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）求老师的满足度等级高于学生的满足度等级的概率．

19．（本小题14分）

已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若你在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

20．（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）已知曲线在点处的切线方程为，求m的值；

（Ⅱ）若存在，使得，求m的取值范围．

21．（本小题15分）

已知数列，记，首项，若对随意整数，有，且是k的正整数倍．

（Ⅰ）若，写出数列的前10项；

（Ⅱ）证明：对随意，数列的第n项