1、第六章 计数原理（知识归纳+题型突破）（原卷版）_1.docx

第六章计数原理（知识归纳+题型突破）

知识点1：分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.?

知识点2：分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

知识点3：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广

（1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,

……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

知识点4：排列与组合的概念

名称

定义

排列

从个不同元素中取出（）个元素

按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列

组合

作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合

知识点5：排列数与组合数

（1）排列数：

从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示

（2）组合数：

从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示

知识点6：排列数、组合数的公式及性质

（1）

（2）

（3）

（4）；

知识点7：二项式定理

（1）二项式定理

一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.

（4）二项展开式的通项

二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.

知识点8：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；

③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

知识点9：各二项式系数和

（1）展开式的各二项式系数和：

；

（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

题型一：乘法原理和加法原理

例题1．（2023上·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（????）

A．12种 B．24种 C．64种 D．81种

例题2．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种．

例题3．（2022上·上海嘉定·高二校考期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有．

例题4．（2023上·高二课时练习）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？

??

巩固训练

1．（2023上·上海·高二校考阶段练习）正整数240的正约数有个．

2．（2023下·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字且为偶数，这样两位数的个数有个

3．（2023上·高二课时练习）如图，要接通从A到B的电路，只有一条支路连接，则不同的接通方法有多少种？

??

4．（2023上·高二课时练习）某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？

题型二：排列组合计算问题

例题1．（2024上·上海·高二上海市控江中学校考期末）若，则.

例题2．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）若，则.

例题3．（2023上·高二课时练习）已知n是正整数，且．求n的值．

例题4．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的方程：

(1)；

(2)．

巩固训练

1．（202