函数项级数的收敛性判断.pdfVIP

设函数

都在集合

上有定义，

。若数值级数

收敛，则称

为函数项级数

的收敛点，否则称为该函数项级数的发散点。所有收敛的集合，称为该函数项级数

的收敛域。发散点的集合称为该函数项级数的发散域。

若

上每一点均是函数项级数

的收敛点，则称该函数项级数在

上处处收敛。

设

是函数项级数

的收敛域。

，设对应的级数和为

，这样，便在

中定义了一个函数

，称为该函数项级数的和函数。

例如，几何级数

它的收敛域为

，发散域为

；在收敛域内，和函数是

，即有

设

是函数项级数

的前

项和，则当

时，有

称

为该函数项级数的余项和。

显然，

，有

[例4.1]设

，讨论函数项级数

的收敛性，并求其和函数。

[解]由于

故当

时，

；当

时，

；当

时，

，当

时，它的极限不存在；当

时，

，

故知该级数的收敛域为

，在收敛域上，它的和函数为

注：1）即使每个

都连续，和

也仍然可以是不连续的函数。

2）函数的可微性和可积性可能不再成立。即函数项级数

（4.1）

(4.2)

都不成立。若如果式（4.1）成立，则说级数

可以逐项微分；如果式（4.2）成立，则说

可以逐项计分。

7.4.2函数项级数的一致收敛性

处处收敛的“

”语言，应该是这样的：

，使得当

时，有

表明，

不但依赖于

，还依赖于

。即对给定的

、

中不同的

，可以有不同的

，对所有的

不一定有通用的自然数

。若存在着通用的自然数

使级数收敛，则称级数一致收敛。

[定义4.1]设函数项级数

在

上收敛于和函数

。若

当

时，

对所有的

都成立，则称该级数在

上一致收敛或一致收敛于

。

类似地，可以给出函数列

在

上一致收敛于函数

的定义。

一致收敛性的几何形象，（以序列为例）。设函数序列

在区间

上一致收敛于函数

。如果以曲线

为“中心”，作一“宽度”为

的带形区域，则不论正数

如何小，总有一个正整数

，使当

时，曲线

都完全在上述带形区域之内（图4.1）。

再分析例4.1中的级数。当

时

故

，若要

，必须

，

即

当

时，由于

，所以当

在

内找不到通用的

。从而所讨论级数在区间

内部不一致收敛，在

上更不可能一致收敛（图4.2）。

但是，对于任何小于

的正数

，所讨论级数在上是一致收敛的，因为这时可以取

。

证明一个函数项级数在

上不一致收敛的一般方法是：

，使得无论自然数

多么大，总存在

，使得

一致收敛性的判别方法：

[定理4.1]（Cauchy一致收敛准则）函数项级数

在

上一致收敛的充分必要条件是：

当

时，对

及任何的自然数

，有

(4.3)

[证明]必要性设该级数在

上一致收敛于和函数

。则

当

时，对

，有

从而有

设不等式（4.3）成立，则有数列的Cauchy收敛准则，对于任意固

定的

，部分和数列

收敛，即该级数在

上处处收敛，设其极限函数为

。在式（4.3）中，令

，便得到：当

时，

，即

由定义4.1，级数在

上一致收敛。

[推论]设级数

在

上一致收敛，则函数列

在

上一致收敛于零。

[定理4.2]（Weierstrass准则或

判别法）如果存在一个收敛的正项级数

，使得对

，有

则函数项级数

在

上一致收敛。

[证明]由于正项级数

收敛，根据数值级数的Cauchy收敛准则，

当