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妙用均值不等式的八类配凑方法

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利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在

运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公

式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行配凑

变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式

的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种配凑方法。

笔者把运用均值不等式的配凑方法概括为八类。

题型一:配凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段，变为“积”的形式，

然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积

的最大值。

题型二:配凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，

然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值

不等式的条件。

题型三:配凑常数降幂

题型四:配凑常数升幂

题型五:约分配凑

通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。

题型六:引入参数配凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”

的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径

题型七:引入对偶式配凑

根据己知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式

子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

题型八:确立主元配凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果

根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可

创造性地使用均值不等式。

结束语

本文许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等

式等号成立条件，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解

这种运用等号成立条件的配凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了

学生思维，培养了学生的数学能力。