21.1一元二次方程(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

21.1一元二次方程

一元二次方程的有关概念

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

注意：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

题型1：一元二次方程的识别

1.下列方程中，一元二次方程的个数为（）

（1）2x2?3=0；（2）x2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】下列方程中一元二次方程的个数为（）

①2x2－3＝0；②x2＋y2＝5；③x2?4=5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-2】在下列方程4(x?1)(x+2)=5，x2+y2=1，5x2

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

题型2：一元二次方程定义与字母的值

2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝.

【变式2-1】(a?2)xa2?2+3x?1=0是关于x

【变式2-2】已知一元二次方程（m－2）x|m|＋3x－4＝0，那么m的值是

一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

注意：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

题型3：一元二次方程的一般形式

3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）．

A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，－3 D．2，1，－3

【变式3-1】将方程(3x?2)(x+1)=8x?3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是，一次项系数是．

【变式3-2】已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？

一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

题型4：一元二次方程的解-求字母的值

4.关于x的一元二次方程x2?m=0

A．3 B．?3 C．9 D．?9

【变式4-1】关于x的方程x2﹣6x+k＝0的一个根是2，则k的值是（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【变式4-2】如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝；

题型5：一元二次方程的解-求代数式的值

5.若关于x的一元二次方程为ax2?3bx?5=0(a≠0)有一个根为x=2，那么

A．4 B．5 C．8 D．10

【变式5-1】已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，求代数式1+6m﹣2m2的值.

【变式5-2】已知m是方程x2?3x+1=0的一个根，求代数式

已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值．

一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

题型6：必有一根问题（赋值法）

6.若a?b+c=0，则关于x的方程ax2

A．1 B．±1 C．0 D．-1

【变式6-1】关于x的一元二次方程ax2?bx?2020=0

A．1 B．?1 C．±1 D．无法确定

【变式6-2】若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为．

知识储备：长方形面积=长×宽（ab）；正方形面积=边长×边长（a2）三角形面积=底×高÷2（12ah）；圆的面积=πr2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2=[12

列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长，再根据题意套公式，列方程即可。

题型7：列一元二次方程-面积问题

7.有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm，若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．

【变式7-1】

将边长为4的正方形剪去如图所示的图形（即图中阴影部分），剩余部分的面积为9，可列出方程为，将其