16.1二次根式的概念及性质(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

16.1二次根式的概念及性质

二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

注意：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

1．下列各式中，一定是二次根式的是（）

A． B． C． D．

【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（）

①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-2】下列式子中，一定属于二次根式的是（）

A． B． C． D．

二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非负性

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.

2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

2).≥0时，==；0时，无意义，=.

2.若有意义，则（）

A． B． C． D．

【变式2-1】代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（）

A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1

【变式2-2】二次根式有意义，则x满足的条件是（）

A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2

【变式2-3】（1）已知是整数，求自然数n所有可能的值；

（2）已知是整数，求正整数n的最小值．

利用二次根式的性质进行计算

3.计算下列各式：

(1)(2)

【变式3-1】（1）=_____________.（2）=_____________.

4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）

A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b

【变式4-1】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，

化简：|．

【变式4-2】若整数满足条件则的值是___________.

【变式4-3】若x，y都是实数，且y＝++8，求3x+2y的平方根．

16.1二次根式的概念及性质

二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

注意：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

1．下列各式中，一定是二次根式的是（）

A． B． C． D．

【解答】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；

B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；

C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；

D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；

故选：D．

【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（）

①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：②，被开方数小于0，不是二次根式；

③是三次根式；

⑤当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；

⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；

①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．

故选：B．

【变式1-2】下列式子中，一定属于二次根式的是（）

A． B． C． D．

【解答】解：A选项，被开方数不是非负数，没有意义，故该选项不符合题意；

B选项，被开方数不能保证x﹣2是非负数，故该选项不符合题意；

C选项，是三次根式，故该选项不符合题意；

D选项，是二次根式，故该选项符合题意；

故选：D．

二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非负性

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.

2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

2).≥0时，==；0时，无意义，=.

2.若有意义，则（）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得，2x+1≥0，

解得，

故选：A．

【变式2-1】代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（）

A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1

【解答】解：由题意可知：，

解得：x≥1，

∴x的值可能为1．/

故选：D．

【变式2-2】二次根式有意义，则x满足的条件是（）

A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2

【解答】解：根据题意得：x﹣2