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不等式和最值问题之方程思想：韦达定理的应用

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前面我在讲数学基础知识本身的妙用的时候已经提到韦达定理，

韦达定理是方程思想范畴的一个巧妙的处理和解决问题的方法，对于

同时存在“和”、“积”特殊形式的等式组，可以把参与“和”、

“积”的两个元素看作一元二次方程的根，巧妙地利用好根与系数的

固定关系，有时候可以极大地降低问题难度，从而轻而易举地解决问

题。

今天就专门来讲一点韦达定理的初步应用，我向来喜欢抛砖引玉，

有限文字里自然不可能面面俱到地讲一切细节，望理解，旨在引导大

家自己去形成自己的学习的思想方法体系，适合自己的才是最好的，

真正轻松愉快的去学习好数学，以至其它理科，高效率、高成绩。

请看题：

我们要善于观察，有些东西一定要一眼就看出来，从已知条件a、

b、c和为0，积为2019，可以得出一些东西：a、b、c必为一正两负，

为了方便书写及运算不妨设定其一比如c为正。而其和、积同时呈现

的特殊形式特点让我们立即想到方程思想的韦达定理，三元的形式变

换成两元的形式，立马就可以应用韦达定理。于是利用方程根的判别

式立马求出正数c的取值范围。然后将变换后的二元形式代入要比较

的形式中，减少变量，正负立马可判断出来。要比较大小的结果相当

于让你证明一个倒数和0的不等式。

我们可以看到，利用韦达定理解决此题实在不要太简单，关键在

于你要对和、积同现的特殊形式特点有敏锐的洞察力，从形式特点立

即联想到韦达定理，此题便顺利完结。

继续看，最值问题。

我们一看，所要求的东西虽然不一样，但是已知条件的形式特点

依然是和、积同现，同样立马应用方程思想的韦达定理、方程根的判

别式，然后通过因式分解即秒解第一小题。

第二小题与方程思想韦达定理无关，不过出现在这里了，我就顺

便说一下注意点，有的同学对于绝对值不等式取得到等号的前提条件

忽略了，没有耐心、不细致，抛开了已知条件的联合限制，利用绝对

值不等式的最一般情况就臆断结论了。我写出来有些同学注意一下，

不要想当然，不要犯这种低级的错误。

沿用前面设定的c最大则c≥4，同样可得a、b都为负数，于是就

可以去掉绝对值符号，再将已知条件代入减少变量，消除a、b，然后

又轻易就得出最值了。

接着看下面的不等式恒成立相关的最值问题。

从已知条件可以直接得出a、b、c都不等于0且c0，依然是和、

积同现的形式特点。虽然和的形式变化了一下，但是通过形式变换依

然立马可得韦达定理需要的形式，注意顺便得出a、b为负数的小结论

以便去绝对值符号的时候使用。韦达定理求出c立方的最大值，结论

去绝对值符号、减少变量只剩c就OK了，过程不再多说。注意恒成立

问题：≤表达式，只需要≤表达式的最小值即可；同样的，≥表达式，

只需要≥表达式的最大值即可。

当然本题也可以不用方程思想的韦达定理，减少变量去绝对值符

号后直接用均值不等式也是一样的，前面的文章已经专门讲过均值不

等式，这里就不多说，写出来大家巩固一下方法。

小结起来对于方程思想的韦达定理在不等式、最值和恒成立问题

中应用，都有其特殊的形式特点：和、积形式共同呈现，能够变换形

式为韦达定理所需要的二元和、积形式，用韦达定理后，减少变量用

判别式求某变量取值范围，瞬间可解决问题。