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对解不定三角形问题命题思路的探究

湖南省怀化市铁路第一中学

一般解三角形必须已知含至少一条边的三个条件，如果只已知三角形的两个条件，我们把这种三角形称为不定三角形，这种三角形虽然不能确定三角形的元素，但有时却可以求出面积、周长或相关量的取值范围（最值）．这类题型灵活多变，思维含量高，对学生的综合能力和学科素养提出了较高的要求，在近几年的高考试题中频频出现，可以说备受命题者的青睐．笔者就此类问题作了一些探究，得出了以下几种试题命制的思路．

1已知两条边

ABC结论1若已知三角形中的两条边，则此三角形的面积有最大值，周长的取值范围为．

A

B

C

证明1：不妨假定，如图，固定三角形的顶点，因为的长为定值，所以顶点的轨迹是以顶点为圆心，为半径的圆．显然，当顶点处于点时（），底边上的高最大，此时的面积最大，所以．

当顶点位于与共线时，边取最大值和最小值，而此时不能构成三角形，所以周长的取值范围为．

证明2：:因为，所以当时，的面积取最大值．

由余弦定理，得，可以看出边长随着角的增大而增大，所以周长的取值范围为．

2已知一边及非对角

BCAD结论2若已知三角形中的一条边及一非对角，则此三角形的面积和周长都是关于边长的增函数．

B

C

A

D

证明：如图，顶点的轨迹是射线，随着顶点远离顶点，即边长增大，的面积增大（或这利用公式）．

在射线上任取一点，且，则，于是

，所以，随着边长增大，的周长增大．

可以看出，上述两种情况是非常简单的，所用到的知识点也非常单一，因此不适合直接作为试题出现，要想从这上面命题，可以从设计变量的范围入手，通过对范围的限定，使得问题变得复杂多变，对知识和方法的考查也会丰富一些．

命题思路1：已知锐角三角形的两条边，求该三角形的面积或周长的取值范围．

例1（原创）已知锐角的三个内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求面积的取值范围．

【解析】（1）因为，由正弦定理得，即，所以，由正弦定理可得，即．

（2）由（1）及，得．

因为是锐角三角形，则且，则，即，所以，则．

所以．

命题思路2：已知锐角三角形的一条边及其非对角，求该三角形的面积或周长的取值范围．

例2（2019全国Ⅲ卷）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

（1）求B；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【解析】（1）由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°故，从而．

因此，面积的取值范围是．

3已知一边及其对角

BCA结论3：若已知三角形中的一条边及其对角，则此三角形的面积的取值范围为，周长的取值范围为．

B

C

A

证明1：如图，作的外接圆，则顶点的轨迹为圆弧，所以当顶点位于点时，的面积取最大值，此时为等腰三角形，边上的高为，

所以，故三角形的面积的取值范围为．

又，则，得．

由余弦定理，得，

则

所以，故，于是三角形的周长的取值范围为．

证明2：由余弦定理得，则，所以，当且仅当时等号成立．

所以三角形的面积的最大值为，从而三角形的面积的取值范围为．

由余弦定理得，

所以，则，所以．又由两边之和大于第三边，有，则，于是三角形的周长的取值范围为．

证明3：由正弦定理得，

，所以

．

因为，所以，故，从而三角形的面积的取值范围为．

．

因为，所以，故，从而，于是三角形的周长的取值范围为．

命题思路3：已知三角形中一条边及其对角，求该三角形的面积或周长的取值范围（或最值）．

此类问题由于求解灵活，方法多样，知识覆盖面广，涉及正、余弦定理，基本不等式，三角恒等变换，正余弦函数等，是一个很好的命题角度，近年来此类问题更是在高考、各地模拟试题中随处可见．

例3（2013年全国Ⅱ）在内角的对边分别为,已知.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若,求△面积的最大值.

【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，

又因为，

则，而，所以．

又，所以．

（2）由余弦定理得，，

所以，从而，当且仅当时等号成立．此时．

所以的面积的最大值为．

4已知一边及另外两边的关系

结论4若已知三角形中一条边，且另外两边满足（其中为常数，且），则三角形的面积的取值范围为．

证明1：如图，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，BCADOyx则，，设，由，则，化简得，

B

C

A

D

O

y

x

配方得：

，

因为，所以．

故三角形顶点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

所以当顶点位于圆心的正上方处时，三角形边上的高最大，此时面积最大，最大为，于是结合图可得三角形的面积的取值范围为．

注：到两定点的距离之比为定长（不为1的正数）的点的轨迹称