湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习新定义、创新题专练 含答案.docxVIP

长郡中学2025届高三数学

（新定义、创新题专练）

姓名：___________班级：___________

1．定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.

(1)求；

(2)对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；

(3)若，求.

2．已知有限集，若，则称A为“完全集”．

(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；

(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；

(3)若A为“完全集”，且，求A．

3．已知函数，．定义新函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若新函数的值域为，求的取值范围．

4．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量和的分布列分别为：，，其中．定义的信息熵：，和的“距离”：．

(1)若，求；

(2)已知发报台只发出信号和，接收台只收到信号和．现发报台发出信号的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号接收台收到信号的概率为，发出信号接收台收到信号的概率也为．

（ⅰ）若接收台收到信号为，求发报台发出信号为的概率；

（ⅱ）记和分别为发出信号和收到信号，证明：．

5．中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．

(1)求第3次传球是由乙传给甲的概率；

(2)求第次传球后排球传到丙手中的概率；

(3)若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．

6．已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率为，直线与圆相切.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)椭圆方程，平面上有一点.定义直线方程是椭圆在点处的极线.

①若在椭圆上，证明:椭圆在点处的极线就是过点的切线;

②若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点.证明:三点共线.

7．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.

(1)写出最小的“漂亮数”；

(2)当时，求出所有的“漂亮数”.

8．已知椭圆的离心率为，且过点．若斜率为的直线与椭圆相切于点，过直线上异于点的一点，作斜率为的直线与椭圆交于两点，定义为点处的切割比，记为．

(1)求的方程；

(2)证明：与点的坐标无关；

(3)若，且（为坐标原点），则当时，求直线的方程．

9．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.

(1)求的方程；

(2)若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.

①求；

②记，，求.

10．若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是-利普希兹条件函数.

(1)判断函数fx=1

(2)已知函数是区间上的3-利普希兹条件函数，求实数的取值范围;

(3)若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且.定义数列，证明:.

11．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．

(1)若，写出，及的值；

(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；

(3)设集合，，求证：且．

12．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．

(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：

（i），（ii）；

(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；

(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．

13．设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题：