微专题1　运动的合成与分解的两类模型 教学设计.doc

微专题1运动的合成与分解的两类模型

类型一小船渡河模型

1．小船参与的两个分运动

(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．

(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．

2．两类最值问题

(1)渡河时间最短问题

水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水).

(2)渡河位移最短问题

情况一：v水＜v船

最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝eq\f(v水,v船)，如图乙所示．

情况二：v水＞v船

合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图丙可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程为x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).

【例1】小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s.

(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝0.6)

(3)如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？

[解析](1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸．

(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，

则v合＝eq\r(veq\o\al(2,船)－veq\o\al(2,水))＝4m/s，经历时间t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s．又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.

(3)如果水流速度变为10m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角．

[答案](1)40s正对岸下游120m处

(2)船头指向与河岸的上游成53°角50s

(3)船头指向与河岸的上游成60°角

[针对训练1](2022·湖南永州期末)一艘小船在静水中的速度是3m/s，一条河宽45m，河水流速为4m/s，下列正确的是()

A．小船在这条河中运动的最大速度是5m/s

B．小船在这条河中运动的最小速度是3m/s

C．小船渡过这条河的最短时间是9s

D．小船渡过这条河的最小位移是60m

解析：选D.当小船在静水中的速度与水流速度同向时，小船速度最大，为7m/s，当小船在静水中的速度与水流速度反向时，小船速度最小，为1m/s，故A、B错误；当小船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短t＝eq\f(d,v静)＝eq\f(45,3)s＝15s，故C错误；因为小船在静水中的速度小于水流速，可知合速度的方向不可能垂直于河岸，则小船不能垂直到对岸，当小船在静水中的速度方向垂直于合速度方向时，位移最小x＝eq\f(v水,v静)d＝60m，故D正确．

[针对训练2](多选)一小船要渡过50m宽的河，已知船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，则以下说法中正确的是()

A．小船渡河的位移一定大于50m

B．小船渡河的速度一定小于等于5m/s

C．小船渡河的最短时间为12.5s

D．若船头指向不变，则小船渡河时将做匀速直线运动

解析：选CD.船在静水中的速度大于水流速度，故船可以垂直行驶至河岸正对面，这时船的位移就是50m，故A错误；小船的渡河速度与小船的渡河方向有关，当小船顺流而下时，渡河速度就会大于5m/s，故B错误；小船渡河最短时间跟垂直河岸的分运动有关，当垂直河岸的分运动的速度等于小船在静水中的速度时，小船的渡河时间最短，设河宽为d，则渡河时间为t＝eq\f(d,v静)＝12.5s，故C正确；若船头指向不变，小船垂直于河岸的分运动和沿河岸方向的分运