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微专题4双星系统和卫星变轨问题

类型一对双星系统的理解

1．双星模型

如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．

2．双星模型的特点

(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．

(3)两星的运动周期、角速度都相同．

(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.

【例1】(多选)图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示．双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比mA∶mB＝n∶1，则()

A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1

B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1

C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶n

D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2

[解析]由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，二者做圆周运动的向心力之比为1∶1，故有mArAω2＝mBrBω2，解得eq\f(rA,rB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,n)，故A、C正确，B错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为1∶n，故D错误．

[答案]AC

【例2】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G.

(1)求A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r；

(2)求两星球做圆周运动的周期；

(3)如果把星球A质量的eq\f(1,2)搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L.则组成新的稳定双星后星球A半径和周期如何变化？

[解析](1)令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有L＝r＋R

两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，

则有Geq\f(mM,L2)＝mReq\f(4π2,T2)

Geq\f(mM,L2)＝Mreq\f(4π2,T2)，可得eq\f(R,r)＝eq\f(M,m)，又因为L＝R＋r

所以可以解得R＝eq\f(M,M＋m)L，r＝eq\f(m,M＋m)L；

(2)根据(1)可以得到Geq\f(mM,L2)＝meq\f(4π2,T2)R，R＝eq\f(M,M＋m)L

两式联立解得T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))；

(3)根据R＝eq\f(M,M＋m)L，知M变大，R变大

根据T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（m＋M）))，知周期不变．

[答案](1)eq\f(M,M＋m)Leq\f(m,M＋m)L

(2)2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))(3)半径变大周期不变

[针对训练1]宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则()

A．星球A的质量大于B的质量

B．星球A的线速度大于B的线速度

C．星球A的角速度大于B的角速度

D．星球A的周期大于B的周期

解析：选B.根据万有引力提供向心力有mAω2rA＝mBω2rB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，vA＞vB，故B正确，C、D错误．

[针对训练2](多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星A、B，A、B的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()

A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3

B．A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3

C．A做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L

D．B做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L

解析：选BC.双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A错误；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m