专题04 圆的计算综合题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（河南专用）（解析版）.pdf

专题04圆的计算综合题

1．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度

的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P

在eO上，当点P在eO上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM^ON．当AP与

eO相切时，点B恰好落在eO上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证：ÐPAO=2ÐPBO；

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（2）若eO的半径5，AP=，求BP的长．

3

【答案】（1）见解析；（2）310

【详解】（1）证明：如图①，

连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP=OB=OC，

QAP与eO相切于点P，

\ÐAPO=90°，

\ÐPAO+ÐAOP=90°，

QMO^CN，

\ÐAOP+ÐPOC=90°，

\ÐPAO=ÐPOC，

QOP=OB，

\ÐOPB=ÐPBO，

\ÐPOC=ÐOPB+ÐPBO=2ÐPBO，

\ÐPAO=2ÐPBO，

（2）如图②所示，

连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD^OC于点D，

2225

则有：AO=AP+OP=，

3

由（1）可知ÐPOC=ÐPAO，

\RtDPOD~RtDOAP，

PDPOODPD5OD

\==，即==，解得PD=3，OD=4，

POOAAP52520

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\CD==OC-OD=1，

在RtDPDC中，PC=PD2+CD2=10，

QCB为圆的直径，

\ÐBPC=90°，

\BP=BC2-PC2=100-10=310，

故BP长310．

2．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数

学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--三

分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；

DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把ÐMEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过ÐMEN的顶点E，点A

落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点F，则EB，EO就把ÐMEN三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，

并写出“证明”过程．

已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB^AC，垂足为点

B，．

求证：．

【答案】，切半圆于F；EB，就把三等分

AB=OBENOEOÐMEN

【详解】已知：如图2，点A，B，，在同一直线上，，垂足为点B，，切半

OCEB^ACAB=OBEN

圆O于F．M、A、E