高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练54 定点与定值问题.docVIP

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课时规范练54定点与定值问题

1.已知动点P在x轴及其上方,且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)若点Q是直线y=x-4上任意一点,过点Q作点P的轨迹C的两切线QA,QB,其中A,B为切点,试证明直线AB恒过一定点,并求出该点的坐标.

2.已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

3.(河南郑州一模)已知椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的方程;

(2)设不过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,A关于原点的对称点为D,记直线l,PB,PD的斜率分别为k,k1,k2,若k1·k2=12

4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知A(0,1),过点0,12的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN与x轴的交点分别为P,Q,证明:以PQ为直径的圆过定点.

5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线C右支上一动点P(x0,y

(1)求双曲线C的方程;

(2)设直线l是曲线C在点P(,N两点,点O为坐标原点,证明:△MON的面积为定值,并求出该定值.

6.已知椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的方程;

(2)点M,N在椭圆C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

课时规范练54定点与定值问题

1.解(1)设点P(x,y),则|PF|=|y|+1,

∵x2+(y-

∵y≥0,∴x2=4y,

∴点P的轨迹C的方程为x2=4y.

(2)∵y=14x2,∴y=1

设切点(x0,y0),则过该切点的切线的斜率为12x0

切线方程为y-y0=12x0(x-x0),y-y0=12x0x-12x02,y-y0=

即x0x-2y-2y0=0.

设Q(t,t-4).切线过点Q,

有tx0-2y0-2(t-4)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程是tx1-2y1-2(t-4)=0与tx2-2y2-2(t-4)=0,

直线AB的方程是tx-2y-2(t-4)=0,

即t(x-2)+8-2y=0,

对任意实数t,直线AB恒过定点,定点坐标为(2,4).

2.(1)解由题可得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),

则AG=(a,1),GB=(a,-1).

由AG·GB=8,得a

所以E的方程为x29+y

(2)证明设C(x1,y1),D(y+n,由题可知-3n3.

因为直线PA的方程为y=t9

所以y1=t9(x1

因为直线PB的方程为y=t3

所以y2=t3(x2

所以3y1(x2-3)=y2(x1+3).

因为x229+y

所以27y1y2=-((n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0. ①

将2+9)y2+2mny+n2-9=0.

由题可知m2+9≠0,Δ0,

所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y

代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0.

解得n=-3(舍去)或n=32

故直线CD的方程为x=my+32

即直线CD过定点32

若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点32

综上,直线CD过定点32

3.(1)解由题意知e=1-b2a2=22,即a2-b

所以椭圆C的方程为x2

(2)证明设直线l的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1,得(1+2k2)2-6=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m

设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x1,-y1),于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x

kPAkPD=y1-1x1-2·y1+1x1

即kPA+kPB=0,即y1

即(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(-1)(-1)(-1-2k)(-1)=0.

将x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=

即(k-1)(2k-1+m)=0,当2k-1+m=0时,直线y=kx+m过点P(2,1),舍去,所以k=1.

注:此题解答(2)中,由二级结论更易得kPAkPD=-b2a2=-

4.(1)解因为椭圆C的离心率为22

所以ca

又当T位于上顶点或者下顶点时,△TF1F2面积最大,即bc=1.

又a2=b2+c2,所以b=c=1,a=2,

所以椭圆C的标准方程为x22+y

(2)证明由题知,直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=k(x1,y1),N(x2,y2),将直线l代入椭圆C的方程,得(4k2+2)x2+4kx-3=0.

由根与系数的关系,得x1+x2=-4k4k2+2,x

所以P-x1y1-1,0,Q-

所以以PQ为直径的圆为x+x1y