数学三角函数解题技巧.pdfVIP

（1）变换函数名

对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切

割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，

这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发

现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不

为0，求a、b的关系。

解析：已知

显然有：

由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0

即有：acosθ＋b=0

又a≠0

所以，cosθ＝－b/a③

2

将③代入①得：a（－a/b）－b（－b/a）＝2a

4422

即a＋b＝2ab

222

∴（a－b）＝0即｜a｜＝｜b｜

点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关

系式。

（2）变换角的形式

对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变

原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式

灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α

－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

解析：设θ＋15°＝α，则

原式＝sin（α＋60°）＋cos（α+30°）－cosα

＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα

＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα

＝0

点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”

的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝

证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin（α＋β）

所以有：sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝Ａsin（α＋β）

∴sin（α＋β）（cosβ－Ａ）＝cos（α＋β）sinβ

∴tan（α＋β）＝

点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突

破的关键。

（3）以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代

换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以

222222

看作是sinx＋cosx,secx－tanx,cscx－cotx，tanxcotx,secxcosx,tan45°等，根据

解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：

解析：原式＝

＝

＝

＝

点评：1＝“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

（4）和积互化

积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情

形。这往往用到倍、半角公式。

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【例5】解三角方程：sinx＋sin2x＝sin3x