专题2.11切线的有关计算与证明解答题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】（解析版）.pdf

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.11切线的有关计算与证明解答题专练（培优强化30题）

一、解答题

⊙⊙

1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作

⊥，垂足为F，交⊙于点E，连接并延长交⊙于点G，连接,,，已知

∠=2∠

(1)若⊙的半径为5，求的长；

(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

【答案】(1)53

(2)=2，证明见解析

【分析】（1）由题意得，∠=2∠，根据∠=2∠得∠=∠，根据切线的性质得

⊥，即∠=90°，根据题意得∠=90°，则∠=∠=90°，即可得∥，根据角之间

的关系和边之间的关系得△是等边三角形，即可得∴∠=60°，则∠=30°,根据题意得，=10，

∠=90°，在△中，根据锐角三角形函数即可得；

（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，△为等边三角形，可得∠=30°，在△中，

1

根据直角三角形的性质得=，即=2；方法二：连接，过点O作⊥，垂足为H，根据

2

题意得，四边形是矩形，所以=，根据等边三角形的性质得=，根据边之间的关系得

CE=OE，根据HL得△≌△，即可得=，由此即可得=2

（1）

解：如图所示，连接

∵=，

∴∠=2∠，

∵∠=2∠，

∴∠=∠，

∵为⊙的切线，C为切点，

∴⊥，

∴∠=90°，

∵⊥，垂足为F，

∴∠=90°，

∴∠=∠=90°，

∴∥，

∴∠=∠，

∴∠=∠，

∴=

∵=，

∴△是等边三角形，

∴∠=60°，

∴∠=30°

∵⊙的半径为5，

∴=10，

∵是⊙的直径，

∴∠=90°，

∴在△中，=cos∠=10×cos30°=53

（2）

=2，证明如下

证明：方法一：如图所示，

∵∠=∠=60°，

∴=，

∴=

∵=，

∴△为等边三角形，

∴∠=60°

∵∠=90°，

∴∠=30°

1

∴在△中，=，

2

1

∴=，

2

即=2；

方法二：如图所示，连接，过点O作⊥，垂足为H，

∴∠=90°，

∵∠=∠=90°，

∴四边形是矩形，

∴=，

∵△是等边三角形，

∴=，

∵⊥，

∴=，即DE=2EH，

∵∠=∠，

∴=，

∴=，

∴=，

在△和△中，

=

=